Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: r = 1 + cos(θ) e r = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro de duas curvas em coordenadas polares: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de integrais para encontrar a área em questão.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam. Isso significa encontrar os valores de onde .
Sabemos que quando e .

Passo 3

Agora, vamos entender qual curva está “por dentro” da outra em cada intervalo de . Observando as curvas:
  • Para entre e , será menor ou igual a 1.
  • Isso significa que, nesse intervalo, a curva está dentro da curva .

Passo 4

Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares para calcular a região de interseção:
Á
Aqui, e , com os limites de integração de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Á
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a identidade )
Aplicando os limites de integração:
Á
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por :
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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