Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: r = 1 + cos(θ) e r = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro de duas curvas em coordenadas polares: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e cálculo de integrais para encontrar a área em questão.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam. Isso significa encontrar os valores de onde .
Sabemos que quando e .

Passo 3

Agora, vamos entender qual curva está “por dentro” da outra em cada intervalo de . Observando as curvas:
  • Para entre e , será menor ou igual a 1.
  • Isso significa que, nesse intervalo, a curva está dentro da curva .

Passo 4

Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares para calcular a região de interseção:
Á
Aqui, e , com os limites de integração de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Á
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando a identidade )
Aplicando os limites de integração:
Á
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:
Multiplicando por :
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (ln(t^2 + 1), ln^2(t) + 1, t)
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integral(t cos 3 t, t sen t^2, e^2 t) d t
Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (t^2, t, t^2 - 5)
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (cos(t), t, sen(t)), t = pi/2, t = pi