Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (ln(t^2 + 1), ln^2(t) + 1, t)

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente calcular a derivada de uma função vetorial específica. Vamos trabalhar com Cálculo Diferencial, focando nas derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de cada componente da função separadamente.

Passo 2

A função vetorial dada é:
Vamos começar derivando a primeira componente: . Aqui, usamos a regra da cadeia porque temos uma função dentro de outra função (o logaritmo de uma expressão que depende de t).

Passo 3

Para derivar , aplicamos a regra da cadeia:
Onde . Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: . Aqui também usamos a regra da cadeia.
A derivada de é:
E a derivada de 1 é 0. Então, a derivada total dessa componente é .

Passo 5

Por fim, vamos derivar a terceira componente: t. A derivada de t em relação a t é simplesmente 1.

Resposta

A derivada da função vetorial r(t) é:

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