Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (t^2, t, t^2 - 5)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função vetorial e precisamos encontrar os valores de para os quais e sua derivada são ortogonais. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno (ou produto escalar) entre eles deve ser igual a zero. Primeiro, vamos encontrar a derivada de .
A derivada de em relação a é:
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Simplificando os termos:
Para que os vetores sejam ortogonais:
Factorizando:
Assim, temos duas possibilidades:
Resolvendo a segunda equação:

Resposta

Os valores de para os quais e são ortogonais são:

Exercícios relacionados

Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas: r = 1 + cos(θ) e r = 1.
Calcule a derivada das segnintes funções vetoriais.
r(t) = (ln(t^2 + 1), ln^2(t) + 1, t)
Esboce a curva parametrizada e determine o vetor tangente no valor dado de t.
r(t) = (cos(t), t, sen(t)), t = pi/2, t = pi
Encontre os valores de t para quais r'(t) é paralelo ano (i) plano x y, (ii) plano y z, (iii) plano y = x.
r(t) = (t^2, t, sen(t^2))