Encontre os valores de t para quaia r(t) e r'(t) são ortogonais.
r(t) = (t^2, t, t^2 - 5)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função vetorial e precisamos encontrar os valores de para os quais e sua derivada são ortogonais. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno (ou produto escalar) entre eles deve ser igual a zero. Primeiro, vamos encontrar a derivada de .
A derivada de em relação a é:
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Simplificando os termos:
Para que os vetores sejam ortogonais:
Factorizando:
Assim, temos duas possibilidades:
Resolvendo a segunda equação:

Resposta

Os valores de para os quais e são ortogonais são:

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