Calcule a equação da reta tangente em (p, f(p)) sendo dados: f(x) = x^5 em p = 4;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a equação da reta tangente no ponto para a função . Isso faz parte do estudo de derivadas e geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o valor da função no ponto p = 4, calcular a derivada da função para descobrir a inclinação da reta tangente nesse ponto e, por fim, usar esses valores para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(4). Isso significa substituir x por na função :
Então, o ponto em que queremos a reta tangente é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de f(x), que vai nos dar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação instantânea dela. Para , usamos a regra da potência para derivar:
Então, a derivada de f(x) é .

Passo 4

Com a derivada , vamos calcular o valor da derivada no ponto p = 4 para encontrar a inclinação da reta tangente:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é baseada na fórmula ponto-inclinação:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa equação:
Agora, somamos em ambos os lados para isolar o y:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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