Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região que está dentro das curvas
e
. Estamos trabalhando com equações em coordenadas polares que representam curvas chamadas de lemniscatas. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas curvas se intersectam e então calcular a área comum a ambas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Para resolver essa equação, dividimos os dois lados por
, desde que
:
Passo 4
Agora, resolvemos para
:
Então,
Passo 5
Isso significa que as curvas se intersectam quando
. Como as funções são periódicas com período
, podemos considerar o intervalo de
de
a
para encontrar a área de um setor representativo.
Passo 6
Dentro de cada intervalo entre as interseções, uma das curvas estará dentro da outra. Precisamos determinar qual curva está dentro em cada intervalo para saber qual usar na integração.
Vamos escolher, por exemplo, o intervalo de
a
:
- Para
, e . Então, está dentro.
Passo 7
De forma geral, a curva
está dentro de
quando
está entre
e
. Fora desses intervalos, a situação se inverte.
Passo 8
Para calcular a área comum, precisamos integrar a curva que está dentro subtraída pela curva que está fora sobre o intervalo de interseção. A fórmula da área em coordenadas polares é:
Passo 9
No nosso caso, a área será:
Multiplicamos por 4 porque há 4 setores iguais no ciclo completo.
Passo 10
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Substituindo os limites de integração:
Passo 12
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Resposta
A área da região simultaneamente interior às curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Enicontre a curva parametrizada de o segmento entre os pontos
e
.
Calcule as seguintes integrais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.
Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais.