Calcule as seguintes integrais.
integral0^1(2 t e^4 t, 4t^2+5 t+6, 4 tt^2+1) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral que tem três partes diferentes. O conteúdo aqui é sobre integração, usando técnicas como substituição e frações parciais. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais, racionais e aplicar substituições simples para resolver cada parte dessa integral vetorial.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte da integral:
integral0^1 2t e^4t , dt
Aqui, temos uma função que é o produto de um polinômio ( 2t) e uma função exponencial ( e^4t). A melhor técnica para resolver isso é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos du = 2 , dt e v = 14 e^4t e integral 2t e^4t , dt = 2t cdot 14 e^4t - integral 14 e^4t cdot 2 , dt = t2 e^4t - 12 integral e^4t , dt . Então, derivando e integrando respectivamente:
12 integral e^4t , dt = 12 cdot 14 e^4t = 18 e^4t
Aplicando a fórmula:
integral0^1 2t e^4t , dt = [ t2 e^4t - 18 e^4t ]0^1
Integrando ( 12 e^4 - 18 e^4 ) - ( 0 - 18 e^0 ) = 38 e^4 + 18 :
Portanto:
Calculando nos limites:

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte da integral:
integral0^1 4t^2 + 5t + 6 , dt
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
t^2 + 5t + 6 = (t + 2)(t + 3)
Então, a integral fica:
integral0^1 4(t + 2)(t + 3) , dt
Vamos usar frações parciais para simplificar:
4(t + 2)(t + 3) = At + 2 + Bt + 3
Multiplicando ambos os lados por 4 = A(t + 3) + B(t + 2) :
4 = A(-3 + 3) + B(-3 + 2) Rightarrow 4 = -B Rightarrow B = -4
Escolhendo 4 = A(-2 + 3) + B(-2 + 2) Rightarrow 4 = A(1) Rightarrow A = 4 :
4(t + 2)(t + 3) = 4t + 2 - 4t + 3
Escolhendo integral0^1 ( 4t + 2 - 4t + 3 ) dt = 4 ln|t + 2| - 4 ln|t + 3| gr|0^1 :
4 ln(34) - 4 ln(23) = 4ln(34 cdot 32) = 4ln(98)
Então:
Agora, integramos:
Calculando nos limites:

Passo 4

Vamos para a terceira parte da integral:
integral0^1 4tt^2 + 1 , dt
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Vamos escolher du = 2t , dt Rightarrow t , dt = 12 du , então:
integral 4tt^2 + 1 , dt = 4 cdot 12 integral 1u , du = 2 ln|u| + C = 2 ln(t^2 + 1) + C
Substituindo na integral:
2 ln(2) - 2 ln(1) = 2 ln(2)
Aplicando os limites:

Resposta

A integral dada resulta no seguinte vetor:
( 38 e^4 + 18, 4 ln(98), 2 ln(2) )

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Calcule as seguintes integrais.
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