Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral que tem três partes diferentes. O conteúdo aqui é sobre integração, usando técnicas como substituição e frações parciais. Vamos precisar entender como integrar funções exponenciais, racionais e aplicar substituições simples para resolver cada parte dessa integral vetorial.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte da integral:
Aqui, temos uma função que é o produto de um polinômio () e uma função exponencial (). A melhor técnica para resolver isso é a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e . Então, derivando e integrando respectivamente:
Aplicando a fórmula:
Integrando :
Portanto:
Calculando nos limites:
Passo 3
Agora vamos para a segunda parte da integral:
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, integramos:
Calculando nos limites:
Passo 4
Vamos para a terceira parte da integral:
integral0^1 4tt^2 + 1 , dt
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Vamos escolher du = 2t , dt Rightarrow t , dt = 12 du , então:
integral 4tt^2 + 1 , dt = 4 cdot 12 integral 1u , du = 2 ln|u| + C = 2 ln(t^2 + 1) + C