Esboce as curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. r(t) = (3, t, t^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar a curva definida pela função vetorial . Isso está relacionado com o conteúdo de funções vetoriais e curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções descrevem posições no espaço e como podemos interpretar cada componente delas.

Passo 2

Primeiro, vamos desmembrar a função vetorial em suas componentes individuais. A função pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, , e representam as coordenadas de um ponto no espaço para cada valor de .

Passo 3

Observando as equações, vemos que é constante, ou seja, independentemente do valor de , a coordenada sempre será 3. Isso indica que a curva está restrita ao plano no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, vamos olhar para as outras duas componentes: e . Se quisermos relacionar e diretamente, podemos eliminar o parâmetro :
Então, temos a equação , que é a equação de uma parábola no plano , com o vértice no ponto .

Resposta

A curva definida pela função vetorial é uma parábola que está localizada no plano vertical , com a equação . Para esboçá-la, desenhe uma parábola no plano , abrindo para cima, com o vértice no ponto .

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