F(s)=integral0^infty f(t) e^-s t d t
e o domínio de F é o conjunto de todos os números reais s para os quais a integral converge. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
[a] f(t)=1
[b] f(t)=e^t
[c] f(t)=t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace juntos! O que a gente tem aqui é a definição da Transformada de Laplace:
F(s) = integral0^infty f(t) e^-s t , dt
Basicamente, a Transformada de Laplace transforma uma função do tempo para uma função de uma nova variável . Isso é super útil em resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver o exercício, vamos calcular para cada uma das funções dadas:
a)
b)
c)
Vamos passo a passo!

Passo 2

[a] F(s) = integral0^infty 1 cdot e^-s t , dt

Primeiro, vamos calcular a Transformada de Laplace para integral e^-s t , dt = -1s e^-s t + C .
  1. Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
    F(s) = [ -1s e^-s t ]0^infty = ( 0 - ( -1s ) ) = 1s
  2. Resolver a integral:
    A integral de em relação a é:
  3. Aplicar os limites de integração de 0 a :

Passo 3

[b] F(s) = integral0^infty e^t cdot e^-s t , dt = integral0^infty e^(1 - s) t , dt

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace para integral e^(1 - s) t , dt = 11 - s e^(1 - s) t + C .
  1. Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
    F(s) = [ 11 - s e^(1 - s) t ]0^infty = ( 0 - 11 - s ) = 1s - 1
  2. Resolver a integral:
    A integral de em relação a é:
  3. Aplicar os limites de integração de 0 a :
    Para que a integral convirja, precisamos que . Então,

Passo 4

[c] F(s) = integral0^infty t cdot e^-s t , dt

Por último, vamos calcular a Transformada de Laplace para integral t cdot e^-s t , dt = -ts e^-s t + 1s integral e^-s t , dt .
  1. Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
    integral t cdot e^-s t , dt = -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t + C
  2. Resolver a integral por partes:
    Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
    • F(s) = [ -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t ]0^infty F(s) = ( 0 - 0 ) - ( 0 - 1s^2 ) = 1s^2
    Aplicando a fórmula de integração por partes :
    Já sabemos que , então:
  3. Aplicar os limites de integração de 0 a :
    Novamente, para que a integral convirja, .
    Avaliando em :
    • tende a 0
    • também tende a 0
    Avaliando em :
    Então,

Resposta

As Transformadas de Laplace das funções são:
a) Para F(s) = 1s :
F(s) = 1s - 1, onde s > 1
b) Para F(s) = 1s^2, onde s > 0 :
c) Para :

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