e o domínio de
é o conjunto de todos os números reais
para os quais a integral converge. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:
[a]
[b]
[c]
[a]
[b]
[c]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace juntos! O que a gente tem aqui é a definição da Transformada de Laplace:
Basicamente, a Transformada de Laplace transforma uma função do tempo
para uma função de uma nova variável
. Isso é super útil em resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver o exercício, vamos calcular
para cada uma das funções dadas:
a)
b)
c)
Vamos passo a passo!
Passo 2
[a]
Primeiro, vamos calcular a Transformada de Laplace para
.
-
Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
-
Resolver a integral:A integral de
em relação a é: -
Aplicar os limites de integração de 0 a
:
Passo 3
[b]
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace para
.
-
Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
-
Resolver a integral:A integral de
em relação a é: -
Aplicar os limites de integração de 0 a
: Para que a integral convirja, precisamos que. Então,
Passo 4
[c]
Por último, vamos calcular a Transformada de Laplace para
.
-
Substituir a função na fórmula da Transformada de Laplace:
-
Resolver a integral por partes:Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:Aplicando a fórmula de integração por partes
: Já sabemos que, então: -
-
Aplicar os limites de integração de 0 a
: Novamente, para que a integral convirja,. Avaliando em: -
tende a 0 -
também tende a 0
Avaliando em: Então, -
Resposta
As Transformadas de Laplace das funções são:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
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e
.