Calcule a área das regiões determinadas por:
y = 1/(x^4 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões determinadas pela função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar essa função e usar algumas propriedades de simetria para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Notamos que essa função é simétrica em relação ao eixo y porque, se substituirmos por , a função permanece a mesma. Isso significa que a área de até é igual à área de até . Portanto, podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2 para obter a área total.

Passo 3

A área que queremos encontrar pode ser expressa como:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar , vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos usar a substituição . Então, ou . Porém, como estamos substituindo , podemos reescrever , e portanto .
Substituindo na integral:
Essa integral ainda é complicada, então vamos usar outra técnica.

Passo 5

Outra abordagem é reconhecer que pode ser fatorada usando números complexos, mas para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que integrais da forma podem ser resolvidas usando funções arctangentes e fórmulas de integração padrão.
A integral definida é conhecida e seu valor é .

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na expressão da área:

Resposta

A área das regiões determinadas pela função é .

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