Calcule a área das regiões determinadas por:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões determinadas pela função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como integrar essa função e usar algumas propriedades de simetria para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Notamos que essa função é simétrica em relação ao eixo y porque, se substituirmos
por
, a função permanece a mesma. Isso significa que a área de
até
é igual à área de
até
. Portanto, podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2 para obter a área total.
Passo 3
A área
que queremos encontrar pode ser expressa como:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para integrar
, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos usar a substituição
. Então,
ou
. Porém, como estamos substituindo
, podemos reescrever
, e portanto
.
Substituindo na integral:
Essa integral ainda é complicada, então vamos usar outra técnica.
Passo 5
Outra abordagem é reconhecer que
pode ser fatorada usando números complexos, mas para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que integrais da forma
podem ser resolvidas usando funções arctangentes e fórmulas de integração padrão.
A integral definida
é conhecida e seu valor é
.
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na expressão da área:
Resposta
A área das regiões determinadas pela função
é
.