Seja á
Verifique que é uma função densidade de probabilidade

Passo 1

Então, a gente tem essa função que é definida de duas maneiras: para entre 0 e 10, , e fora desse intervalo, . Nosso trabalho aqui é verificar se essa função é uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar dos conceitos de função densidade de probabilidade e entender as condições que ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser densidade de probabilidade, ela precisa atender a duas condições principais:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Integral total igual a 1: A integral de em todo o espaço deve ser igual a 1.
Vamos checar essas duas condições uma por uma.

Passo 3

Vamos começar com a não-negatividade. Olhando para a função no intervalo de 0 a 10:
  • é positivo.
  • está entre 0 e 10, então .
  • também está entre 0 e 10, então .
Multiplicando esses termos positivos, a função será sempre maior ou igual a zero nesse intervalo. Fora desse intervalo, , que também é não negativo. Portanto, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de de a deve ser igual a 1. Mas como é zero fora de 0 a 10, podemos simplificar e calcular apenas de 0 a 10:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:

Passo 7

Agora, subtraímos os resultados das integrais:
Isso significa que a integral de de 0 a 10 é igual a 1.

Resposta

Sim, é uma função densidade de probabilidade porque satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o domínio e a integral de de a é igual a 1.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das equações:
Calcule a área das regiões determinadas por:
.
Esboce o gráfico das equações:
Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.