Seja
Verifique que é uma função densidade de probabilidade
Passo 1
Então, a gente tem essa função que é definida de duas maneiras: para entre 0 e 10, , e fora desse intervalo, . Nosso trabalho aqui é verificar se essa função é uma função densidade de probabilidade. Para isso, vamos precisar dos conceitos de função densidade de probabilidade e entender as condições que ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser densidade de probabilidade, ela precisa atender a duas condições principais:
Não-negatividade: para todo .
Integral total igual a 1: A integral de em todo o espaço deve ser igual a 1.
Vamos checar essas duas condições uma por uma.
Passo 3
Vamos começar com a não-negatividade. Olhando para a função no intervalo de 0 a 10:
é positivo.
está entre 0 e 10, então .
também está entre 0 e 10, então .
Multiplicando esses termos positivos, a função será sempre maior ou igual a zero nesse intervalo. Fora desse intervalo, , que também é não negativo. Portanto, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de de a deve ser igual a 1. Mas como é zero fora de 0 a 10, podemos simplificar e calcular apenas de 0 a 10:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
Passo 7
Agora, subtraímos os resultados das integrais:
Isso significa que a integral de de 0 a 10 é igual a 1.
Resposta
Sim, é uma função densidade de probabilidade porque satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o domínio e a integral de de a é igual a 1.