Considere
Determine

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão nos dá três vetores dependentes do tempo : , e . Precisamos encontrar a derivada do produto vetorial entre e , ou seja, . Para isso, vamos usar regras de derivação de vetores e propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto vetorial segue a regra do produto, similar ao que fazemos com números. A regra diz que:
Então, nosso plano é calcular , , e depois fazer os produtos vetoriais necessários.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e .
Dado:
Derivando em relação a :
Agora, para :
Derivando:

Passo 4

Agora que temos e , vamos usar a regra do produto vetorial:
Vamos calcular cada um desses produtos vetoriais separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular .
Temos:
e
O produto vetorial é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular .
Temos:
e
O produto vetorial é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Passo 7

Agora, vamos somar os dois resultados obtidos:
Somando os componentes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A derivada do produto vetorial é:

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.
Esboce o gráfico das equações: