Considere
u(t)=t^2 i-3 t k, v(t)=-4 t^3 j+(t+1) k e w(t)=3 t^2 i+t j-t^3 k
Determine
(u times v)^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão nos dá três vetores dependentes do tempo : , e . Precisamos encontrar a derivada do produto vetorial entre e , ou seja, . Para isso, vamos usar regras de derivação de vetores e propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de um produto vetorial segue a regra do produto, similar ao que fazemos com números. A regra diz que:
(u times v)' = u' times v + u times v'
Então, nosso plano é calcular , , e depois fazer os produtos vetoriais necessários.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de u(t) = t^2 i - 3 t k e u'(t) = ddt(t^2) i - ddt(3 t) k = 2t i - 3 k .
Dado:
v(t) = -4 t^3 j + (t + 1) k
Derivando em relação a v'(t) = ddt(-4 t^3) j + ddt(t + 1) k = -12 t^2 j + 1 k :
Agora, para :
Derivando:

Passo 4

Agora que temos (u times v)' = u' times v + u times v' e , vamos usar a regra do produto vetorial:
Vamos calcular cada um desses produtos vetoriais separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular u'(t) = 2t i - 3 k .
Temos:
v(t) = -4 t^3 j + (t + 1) k
e
i & j & k 2t & 0 & -3 0 & -4 t^3 & t + 1
O produto vetorial i(0 cdot (t + 1) - (-3) cdot (-4 t^3)) - j(2t cdot (t + 1) - (-3) cdot 0) + k(2t cdot (-4 t^3) - 0 cdot 0) é:
i(0 - 12 t^3) - j(2t(t + 1)) + k(-8 t^4)
Calculando o determinante:
-12 t^3 i - 2t(t + 1) j - 8 t^4 k
Simplificando:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular u(t) = t^2 i - 3 t k .
Temos:
v'(t) = -12 t^2 j + 1 k
e
i & j & k t^2 & 0 & -3 t 0 & -12 t^2 & 1
O produto vetorial i(0 cdot 1 - (-3 t) cdot (-12 t^2)) - j(t^2 cdot 1 - (-3 t) cdot 0) + k(t^2 cdot (-12 t^2) - 0 cdot 0) é:
i(0 - 36 t^3) - j(t^2) + k(-12 t^4)
Calculando o determinante:
-36 t^3 i - t^2 j - 12 t^4 k
Simplificando:
Então:

Passo 7

Agora, vamos somar os dois resultados obtidos:
(u times v)' = (-12 t^3 i - 2t(t + 1) j - 8 t^4 k) + (-36 t^3 i - t^2 j - 12 t^4 k)
Somando os componentes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A derivada do produto vetorial é:
(u times v)' = -48 t^3 i - (3 t^2 + 2 t) j - 20 t^4 k

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