Esboce o gráfico das equações: r(t) = (3 cos t) i + (2 sen t) j - k

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar o gráfico da equação vetorial . Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e funções vetoriais. Vamos precisar separar os componentes dessa função para visualizar a curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Isso significa que, conforme varia, t e x mudam seguindo funções trigonométricas, enquanto y permanece sempre igual a z.

Passo 3

Como z(t) é constante, a curva está localizada no plano . Então, vamos focar em como x(t) e y(t) se comportam nesse plano. As equações e descrevem uma elipse, já que os coeficientes de e são diferentes.

Passo 4

Para desenhar a elipse no plano , usamos os coeficientes das funções trigonométricas para determinar os comprimentos dos eixos. O eixo maior tem comprimento e o eixo menor tem comprimento . O centro da elipse está na origem do plano .

Resposta

O gráfico da equação é uma elipse com eixo maior de comprimento 6 e eixo menor de comprimento 4, localizada no plano . Para esboçar, desenhe uma elipse no plano paralelo ao eixo xy, centrada na origem desse plano, estendendo-se 3 unidades ao longo do eixo x e 2 unidades ao longo do eixo y, e posicione-a a uma altura de no espaço tridimensional.

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