Calcule:
integral1^+infty 1s^2+x^2 d x,(s>0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular onde . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica para integrar integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C . A integral indefinida dessa função é:
onde é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é integral 1s^2 + x^2 , dx = 1s tan^-1(xs) + C . Comparando com a fórmula que vimos, aqui . Então, aplicando a fórmula, temos que a integral indefinida é:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 até 1s tan^-1(xs) |1^+infty = 1s [ limx to +infty tan^-1(xs) - tan^-1(1s) ] . Primeiro, calculamos o valor da antiderivada nesse intervalo:

Passo 5

Sabemos que 1s [ pi2 - tan^-1(1s) ] , porque a função tangente inversa se aproxima de quando seu argumento vai para o infinito. Então, substituindo:

Resposta

A integral 1s ( pi2 - tan^-1(1s) ) é igual a:

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