Calcule a área das regiões determinadas por:
e
Passo 1
E aí! Vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integração de funções para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto de interseção entre as duas funções
e
. Isso significa resolver a equação:
Resolvendo numericamente ou graficamente, descobrimos que elas se intersectam quando
.
Passo 3
Como as curvas se intersectam em
e estamos considerando
, a área que queremos calcular é limitada entre
e outro ponto onde as curvas se interceptam ou tendem ao infinito. Observando o comportamento das funções, vemos que conforme
aumenta,
decresce mais rápido que
, então a área será definida a partir de
até
tendendo ao infinito.
Passo 4
A área entre as duas curvas de
até o infinito é dada pela integral:
Essa integral calcula a diferença vertical entre as duas funções em cada ponto
, somando essas diferenças ao longo do intervalo.
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente:
Passo 6
Subtraindo as duas integrais, temos:
Resposta
A área das regiões delimitadas por
,
e
é:
Exercícios relacionados
Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Esboce o gráfico das equações:
Determine o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
Seja
Encontre .
Encontre