Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral0^infty t^2 e^t d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a integral imprópria integral0^infty t^2 e^t dt é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de integrais onde o intervalo é infinito ou a função apresenta comportamento estranho próximo aos limites de integração. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos sobre limites e tipos de crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para analisarmos melhor:
integral0^infty t^2 e^t dt
Essa é uma integral imprópria porque o limite superior vai até o infinito.

Passo 3

Para determinar se essa integral converge ou diverge, precisamos entender como a função f(t) = t^2 e^t se comporta quando t tende ao infinito. Funções exponenciais como e^t crescem muito rapidamente, e quando multiplicadas por polinômios como t^2, o crescimento só fica mais acelerado.

Passo 4

Vamos analisar o limite da função conforme t tende ao infinito:
limt to infty t^2 e^t = infty
Como a função tende ao infinito, a área sob a curva também tende ao infinito.

Resposta

A integral é divergente.

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