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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes que descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória . A questão pede para encontrar a probabilidade de estar entre 4 e 8. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades contínuas, especificamente integrando a função de densidade de probabilidade nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida assim:
á
Essa função é uma função de densidade de probabilidade, ou seja, ela nos dá a probabilidade de assumir valores dentro de certos intervalos.

Passo 3

Para encontrar , precisamos calcular a integral de de 4 a 8. A integral de uma função de densidade de probabilidade em um intervalo específico nos dá a probabilidade de a variável aleatória cair dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos então substituir a função na integral:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Portanto,

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os resultados:

Resposta

A probabilidade de estar entre 4 e 8 é de 0,544 ou 54,4%.

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e
Determine o domínio das funções abaixo:
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