Calcule a área das regiões determinadas por:
e
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas retas
,
e a condição
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas retas se cruzam e depois calcular a área entre elas dentro do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas retas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação para
:
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar o valor correspondente de
substituindo na primeira equação:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a condição
. Vamos verificar se o ponto de interseção
está dentro desse intervalo. Como
é aproximadamente 2,718, temos:
Como 1,573 é maior que 1, o ponto de interseção está dentro do intervalo
.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas neste intervalo, vamos integrar a diferença entre as funções no intervalo de
até
.
A função de cima é
e a de baixo é
. Então, a área
é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, substituímos
:
Agora, substituímos
:
Então, a área é:
Resposta
A área das regiões determinadas pelas retas
,
e
é:
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