Calcule a área das regiões determinadas por:
e

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas retas , e a condição . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar onde essas retas se cruzam e depois calcular a área entre elas dentro do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas retas e . Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação para :
Agora que temos o valor de , vamos encontrar o valor correspondente de substituindo na primeira equação:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos considerar a condição . Vamos verificar se o ponto de interseção está dentro desse intervalo. Como é aproximadamente 2,718, temos:
Como 1,573 é maior que 1, o ponto de interseção está dentro do intervalo .

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas neste intervalo, vamos integrar a diferença entre as funções no intervalo de até .
A função de cima é e a de baixo é . Então, a área é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Primeiro, substituímos :
Agora, substituímos :
Então, a área é:

Resposta

A área das regiões determinadas pelas retas , e é:

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