Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Esse tipo de integral envolve limites onde a função pode não estar bem comportada, então a gente precisa verificar se ela converge ou não. Para resolver, vamos usar substituições trigonométricas e propriedades de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que pode ser manipulada para facilitar a integração. Vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Aqui, é um ângulo cuja função seno corresponde a parte da expressão. Quando , , e quando se aproxima de 2, se aproxima de .

Passo 3

Calculando , temos:
Agora, substituímos na expressão original:

Passo 4

A expressão pode ser simplificada usando identidades trigonométricas:
Portanto, a raiz da expressão fica:

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na integral:
Simplificando:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral resulta em:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A integral impr��pria converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Calcule a área das regiões determinadas por:
e
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Suponha que e sejam séries com termos positivos e que seja convergente.
Se para todo n, o que você pode dizer sobre ? Por quê?