Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Esse tipo de integral envolve limites onde a função pode não estar bem comportada, então a gente precisa verificar se ela converge ou não. Para resolver, vamos usar substituições trigonométricas e propriedades de integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que pode ser manipulada para facilitar a integração. Vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Aqui, é um ângulo cuja função seno corresponde a parte da expressão. Quando , , e quando se aproxima de 2, se aproxima de .
Passo 3
Calculando , temos:
Agora, substituímos na expressão original:
Passo 4
A expressão pode ser simplificada usando identidades trigonométricas: