Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^2 raiz2+x2-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Esse tipo de integral envolve limites onde a função pode não estar bem comportada, então a gente precisa verificar se ela converge ou não. Para resolver, vamos usar substituições trigonométricas e propriedades de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que x = 2 sin theta pode ser manipulada para facilitar a integração. Vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Aqui, é um ângulo cuja função seno corresponde a parte da expressão. Quando , , e quando se aproxima de 2, se aproxima de .

Passo 3

Calculando dx = 2 cos theta , dtheta , temos:
2 + x2 - x = 2 + 2 sin theta2 - 2 sin theta = 1 + sin theta1 - sin theta
Agora, substituímos na expressão original:

Passo 4

A expressão 1 + sin theta1 - sin theta = (1 + sin theta)^21 - sin^2 theta = 1 + 2 sin theta + sin^2 thetacos^2 theta = (1 + sin thetacos theta)^2 pode ser simplificada usando identidades trigonométricas:
raiz2 + x2 - x = 1 + sin thetacos theta = sec theta + tan theta
Portanto, a raiz da expressão fica:

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na integral:
integral0^2 raiz2+x2-x , dx = integral0^pi2 (sec theta + tan theta) cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando:
(sec theta + tan theta) cdot 2 cos theta = 2 (1 + sin theta)
Então, a integral fica:
integral0^pi2 2 (1 + sin theta) , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 2 , dtheta = 2 theta
integral 2 sin theta , dtheta = -2 cos theta
Portanto, a integral resulta em:
2 theta - 2 cos theta |0^pi2

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para 2 cdot pi2 - 2 cos (pi2) = pi - 0 = pi :
2 cdot 0 - 2 cos (0) = 0 - 2 = -2
Para pi - (-2) = pi + 2 :
Subtraindo:

Resposta

A integral impr��pria converge e seu valor é .

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