Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função definida assim:
O que precisamos descobrir é em quais pontos dessa função a derivada parcial em relação a , ou seja, , existe. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e, em alguns casos, recorrer à definição de derivada quando as regras de derivação padrão não funcionarem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada parcial . Basicamente, ela nos mostra como a função muda quando fazemos uma pequena variação em , mantendo constante.
Matematicamente, a derivada parcial é definida como:
Passo 3
Vamos analisar os pontos onde e são diferentes de zero. Nesse caso, . Como a função é constante nessas regiões, qualquer pequena variação em não muda o valor de . Portanto, a derivada parcial é:
Passo 4
Agora, vamos olhar para os pontos onde ou . Nessas situações, a função é igual a zero. Mas aqui a gente tem um detalhe importante: se e se aproxima de zero, a função muda de 1 para 0 abruptamente. Isso causa um salto na função, o que significa que a derivada não está bem definida nesse ponto.
Usando a definição de derivada:
Se , e , então:
Esse limite não existe porque depende de como se aproxima de zero (pode ir para ou ).
Resposta
A derivada parcial existe em todos os pontos onde e , e nesse caso ela é igual a zero. Em todos os outros pontos (onde ou ), a derivada parcial não existe.