Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral imprópria
. A gente vai precisar usar conhecimentos sobre integrais impróprias e integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde a área sob a curva é infinita ou o intervalo de integração é infinito. No nosso caso, o limite superior é
, então estamos lidando com uma integral imprópria devido ao intervalo infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa função é o produto de uma função seno oscilante e uma função exponencial crescente. Quando combinamos elas, temos que ver se o crescimento da exponencial compensa as oscilações do seno para que a integral convirja.
Passo 4
Para calcular a integral
, usamos uma técnica de integração conhecida como integração por partes ou reconhecemos uma fórmula padrão. Sabemos que:
Nesse caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, precisamos avaliar os limites dessa expressão quando
tende a
e quando
.
Passo 6
Observando o limite quando
:
Como
cresce exponencialmente para
e as funções seno e cosseno oscilam entre -1 e 1, o termo
também cresce sem limites. Portanto, o limite é infinito.
Passo 7
Já no limite quando
:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Isso significa que a integral não converge.
Resposta
A integral
não converge.
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.
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e
Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: