Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
integral0^+infty sen(t pi) e^t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral imprópria . A gente vai precisar usar conhecimentos sobre integrais impróprias e integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde a área sob a curva é infinita ou o intervalo de integração é infinito. No nosso caso, o limite superior é , então estamos lidando com uma integral imprópria devido ao intervalo infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando: . Essa função é o produto de uma função seno oscilante e uma função exponencial crescente. Quando combinamos elas, temos que ver se o crescimento da exponencial compensa as oscilações do seno para que a integral convirja.

Passo 4

Para calcular a integral integral e^a t sin(b t) dt = e^a t (a sin(b t) - b cos(b t))a^2 + b^2 + C , usamos uma técnica de integração conhecida como integração por partes ou reconhecemos uma fórmula padrão. Sabemos que:
Nesse caso, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integral0^+infty sin(pi t) e^t dt = [ e^t ( sin(pi t) - pi cos(pi t))1 + pi^2 ]0^+infty
Agora, precisamos avaliar os limites dessa expressão quando tende a e quando .

Passo 6

Observando o limite quando limt to +infty e^t ( sin(pi t) - pi cos(pi t))1 + pi^2 :
Como cresce exponencialmente para e as funções seno e cosseno oscilam entre -1 e 1, o termo também cresce sem limites. Portanto, o limite é infinito.

Passo 7

Já no limite quando e^0 ( sin(0) - pi cos(0))1 + pi^2 = 1 cdot (0 - pi cdot 1)1 + pi^2 = -pi 1 + pi^2 :

Passo 8

Agora, juntando tudo:
integral0^+infty sin(pi t) e^t dt = (infinito) - ( -pi 1 + pi^2 ) = infinito
Isso significa que a integral não converge.

Resposta

A integral não converge.

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