Calcule a área das regiões determinadas por:
y = (e^x + e^-x)^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões determinadas pela função . Isso está relacionado ao cálculo de integrais na área de Cálculo, especificamente integrando funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar essa função e encontrar os limites apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que , onde é a função cosseno hiperbólico. Então, a função fica:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a área sob essa curva. Isso significa que precisamos calcular a integral de em todo o domínio de . Como a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular a integral de 0 a e depois multiplicar por 2 para simplificar.
Á

Passo 4

A integral de é conhecida e está relacionada à função tangente hiperbólica inversa, . A integral fica assim:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a :
Á
Quando tende a , também tende a , e .
Quando , , então .
Substituindo esses valores:
Á

Resposta

A área das regiões determinadas pela função é .

Exercícios relacionados