Calcule a área das regiões determinadas por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões determinadas pela função
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais na área de Cálculo, especificamente integrando funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como integrar essa função e encontrar os limites apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função. Sabemos que
, onde
é a função cosseno hiperbólico. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a área sob essa curva. Isso significa que precisamos calcular a integral de
em todo o domínio de
. Como a função
é simétrica em relação ao eixo y, podemos calcular a integral de 0 a
e depois multiplicar por 2 para simplificar.
Passo 4
A integral de
é conhecida e está relacionada à função tangente hiperbólica inversa,
. A integral fica assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Quando
tende a
,
também tende a
, e
.
Quando
,
, então
.
Substituindo esses valores:
Resposta
A área das regiões determinadas pela função
é
.