Um empresário pretende criar uma nova empresa, num estudo anterior foi verificada a possibilidade de serem contratados até 120 funcionários. De acordo com a sua equipe contábil o lucro anual esperado, em função do número de funcionários contratados, é dado por
Qual o número de funcionários a contratar que maximiza o seu lucro anual esperado?
(A) 80 .
(B) 70 .
© 75 .
(D) 90 .
(E) 85 .
(A) 80 .
(B) 70 .
© 75 .
(D) 90 .
(E) 85 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um empresário que quer abrir uma nova empresa e está pensando em quantos funcionários contratar para maximizar o lucro anual. A função que representa o lucro é
, onde
é o número de funcionários, e
varia entre 0 e 120. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz o lucro ser o maior possível.
Passo 2
Para encontrar o número de funcionários que maximiza o lucro, precisamos usar um conceito da matemática chamado derivada, que nos ajuda a encontrar pontos de máximo e mínimo em funções. A derivada da função
nos dará a taxa de variação do lucro em relação ao número de funcionários.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Essa derivada
nos mostra como o lucro muda quando aumentamos ou diminuímos o número de funcionários.
Passo 4
Para encontrar os pontos onde o lucro pode ser máximo, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, temos duas soluções:
Isso nos dá dois candidatos para maximizar o lucro: 0 e 80 funcionários.
Passo 5
Agora, precisamos verificar qual desses valores realmente nos dá o lucro máximo dentro do intervalo permitido (0 a 120 funcionários). Vamos calcular o lucro para cada um desses valores e também para o extremo superior, que é 120 funcionários.
Calculando:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Comparando os valores de lucro:
-
-
(maior valor) -
Então, o maior lucro ocorre quando contratamos 80 funcionários.
Resposta
A quantidade de funcionários que maximiza o lucro anual esperado é 80. A resposta correta é a opção (A) 80.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Considere a função
. Sabendo que
é derivável,
e
. Podemos afirmar que o valor de
é igual a:
(A) 99 .
(B) 0 .
© -99 .
(D) Nada podemos afirmar por não conhecermos a expressão algébrica de .
(E) 199 .
(A) 99 .
(B) 0 .
© -99 .
(D) Nada podemos afirmar por não conhecermos a expressão algébrica de
(E) 199 .
Calcule a área das regiões determinadas por:
Calcule as seguintes integrais: