Um empresário pretende criar uma nova empresa, num estudo anterior foi verificada a possibilidade de serem contratados até 120 funcionários. De acordo com a sua equipe contábil o lucro anual esperado, em função do número de funcionários contratados, é dado por
L(x) = -x^3 + 120 x^2, 0 <= x <= 120
Qual o número de funcionários a contratar que maximiza o seu lucro anual esperado?
(A) 80 .
(B) 70 .
© 75 .
(D) 90 .
(E) 85 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um empresário que quer abrir uma nova empresa e está pensando em quantos funcionários contratar para maximizar o lucro anual. A função que representa o lucro é , onde é o número de funcionários, e varia entre 0 e 120. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz o lucro ser o maior possível.

Passo 2

Para encontrar o número de funcionários que maximiza o lucro, precisamos usar um conceito da matemática chamado derivada, que nos ajuda a encontrar pontos de máximo e mínimo em funções. A derivada da função nos dará a taxa de variação do lucro em relação ao número de funcionários.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Essa derivada nos mostra como o lucro muda quando aumentamos ou diminuímos o número de funcionários.

Passo 4

Para encontrar os pontos onde o lucro pode ser máximo, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, temos duas soluções:
Isso nos dá dois candidatos para maximizar o lucro: 0 e 80 funcionários.

Passo 5

Agora, precisamos verificar qual desses valores realmente nos dá o lucro máximo dentro do intervalo permitido (0 a 120 funcionários). Vamos calcular o lucro para cada um desses valores e também para o extremo superior, que é 120 funcionários.
Calculando:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Comparando os valores de lucro:
  • (maior valor)
Então, o maior lucro ocorre quando contratamos 80 funcionários.

Resposta

A quantidade de funcionários que maximiza o lucro anual esperado é 80. A resposta correta é a opção (A) 80.

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