Calcule as seguintes integrais: integral sen(2 x)(1+cos (2 x))^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente tem que calcular a integral . Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, como substituição. Vamos precisar usar uma identidade trigonométrica e fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica importante: . Isso vai nos ajudar a simplificar o denominador da fração.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
u = 1 + cos(2x)
Então, vamos derivar dudx = -2sen(2x) em relação a sen(2x),dx = -du2 :
Isso significa que:

Passo 4

Substituindo integral sen(2x)(1+cos(2x))^2 , dx = integral -du2u^2 = -12 integral u^-2 , du e na integral original, temos:
Aqui, usamos a propriedade dos expoentes para reescrever como .

Passo 5

Vamos integrar integral u^-2 , du = -u^-1 + C :
-12 integral u^-2 , du = -12(-u^-1) + C = 12u + C
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original 12u + C = 12(1 + cos(2x)) + C . Lembrando que 1 + cos(2x) = 2cos^2(x) , substituímos de volta:
12(2cos^2(x)) + C = 14cos^2(x) + C = 14sec^2(x) + C
Usando a identidade trigonométrica que mencionamos no Passo 2:
14tan(x) + C
Então:
A integral de é , então finalmente temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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