Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente tem que calcular a integral . Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, como substituição. Vamos precisar usar uma identidade trigonométrica e fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica importante:
. Isso vai nos ajudar a simplificar o denominador da fração.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar:
Então, vamos derivar
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Substituindo
e na integral original, temos:
Aqui, usamos a propriedade dos expoentes para reescrever
como
.
Passo 5
Vamos integrar
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Usando a identidade trigonométrica que mencionamos no Passo 2:
Então:
A integral de
é
, então finalmente temos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.