Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Esse problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de infinito e verificar se a área sob a curva é finita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Ela envolve integrar uma função em um intervalo que vai até o infinito, ou onde a função pode não estar bem definida. Neste caso, temos
, onde o limite superior é infinito.
Passo 3
Para avaliar se essa integral converge, podemos calcular o limite da integral definida quando o limite superior tende ao infinito:
Vamos calcular essa integral definida primeiro.
Passo 4
Usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso
e
. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 mais rapidamente que qualquer polinômio cresce, então
quando
.
Passo 8
Portanto, o limite fica:
Como o limite é um número finito, concluímos que a integral converge.
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é 1.