Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Esse problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de infinito e verificar se a área sob a curva é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Ela envolve integrar uma função em um intervalo que vai até o infinito, ou onde a função pode não estar bem definida. Neste caso, temos , onde o limite superior é infinito.

Passo 3

Para avaliar se essa integral converge, podemos calcular o limite da integral definida quando o limite superior tende ao infinito:
Vamos calcular essa integral definida primeiro.

Passo 4

Usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso e . A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 mais rapidamente que qualquer polinômio cresce, então quando .

Passo 8

Portanto, o limite fica:
Como o limite é um número finito, concluímos que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 1.

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