Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral0^infty t e^-t d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral imprópria é convergente ou divergente. Esse problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de infinito e verificar se a área sob a curva é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Ela envolve integrar uma função em um intervalo que vai até o infinito, ou onde a função pode não estar bem definida. Neste caso, temos , onde o limite superior é infinito.

Passo 3

Para avaliar se essa integral converge, podemos calcular o limite da integral definida quando o limite superior tende ao infinito:
integral0^infty t e^-t , dt = limb to infty integral0^b t e^-t , dt
Vamos calcular essa integral definida primeiro.

Passo 4

Usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como neste caso integral u , dv = uv - integral v , du e u = t Rightarrow du = dt . A fórmula de integração por partes é:
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral t e^-t , dt = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a integral0^b t e^-t , dt = [-t e^-t - e^-t]0^b = (-b e^-b - e^-b) - (0 - 1) = - (b + 1) e^-b + 1 :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limb to infty [- (b + 1) e^-b + 1] tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 mais rapidamente que qualquer polinômio cresce, então quando .

Passo 8

Portanto, o limite fica:
limb to infty [-0 + 1] = 1
Como o limite é um número finito, concluímos que a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 1.

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