Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b)
e
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pela curva
entre os pontos
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Para encontrar a área entre a curva
e o eixo
no intervalo de
a
, vamos usar a integral definida. A integral de uma função entre dois limites nos dá a área sob a curva nesses limites.
Passo 3
A fórmula para calcular a área
é:
Onde:
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Sabemos que
e
, então:
Passo 8
No entanto, isso nos dá a área líquida, considerando áreas acima e abaixo do eixo
. Para encontrar a área total, precisamos somar as áreas absolutas.
Passo 9
No intervalo de
a , a função
é positiva de
a
e negativa de
a
. Então, calculamos cada área separadamente:
Passo 10
Calculando cada integral:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de
. [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
b)
Calcule
e
, onde
e
é (i) o quadrado
, (ii) o disco
(
e
tem orientação compativel).
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)
(b)
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: