Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pela curva entre os pontos e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Para encontrar a área entre a curva e o eixo no intervalo de a , vamos usar a integral definida. A integral de uma função entre dois limites nos dá a área sob a curva nesses limites.

Passo 3

A fórmula para calcular a área é:
Onde:

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Sabemos que e , então:

Passo 8

No entanto, isso nos dá a área líquida, considerando áreas acima e abaixo do eixo . Para encontrar a área total, precisamos somar as áreas absolutas.

Passo 9

No intervalo de a , a função é positiva de a e negativa de a . Então, calculamos cada área separadamente:

Passo 10

Calculando cada integral:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de . [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
Calcule e , onde e é (i) o quadrado , (ii) o disco ( e tem orientação compativel).
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: