Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de
. [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e depois construir a equação da reta usando esse valor e o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ponto no gráfico da função quando
. Isso significa calcular
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função
no ponto
. Para isso, precisamos calcular a derivada
.
A função
é uma divisão de duas funções, então usaremos a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se
, então:
Aplicando isso à nossa função:
-
⇒ -
⇒
Então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, avaliamos a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar para a forma
:
Resposta
A equação da reta tangente é: