Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de . [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para determinar a inclinação da reta tangente e depois construir a equação da reta usando esse valor e o ponto dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto no gráfico da função quando . Isso significa calcular :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função no ponto . Para isso, precisamos calcular a derivada .
A função é uma divisão de duas funções, então usaremos a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se , então:
Aplicando isso à nossa função:
Então,
Simplificando:

Passo 4

Agora, avaliamos a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Calcule e , onde e é (i) o quadrado , (ii) o disco ( e tem orientação compativel).
Determine das funções abaixo:
(a)
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)