Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais. O enunciado pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a decomposição em frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações, cada uma com um dos fatores do denominador:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os valores de e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com :
Para os termos constantes:
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, e .

Passo 4

Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos reescrever isso de forma mais simples:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 5

Sabemos que , onde é a constante de integração. Aplicando isso aos nossos termos:
Então, juntando tudo:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de . [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: