Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b) integral x(x+1)(x-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais. O enunciado pede para calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a decomposição em frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x(x+1)(x-3) = Ax+1 + Bx-3 em frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações, cada uma com um dos fatores do denominador:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os valores de x = A(x-3) + B(x+1) e x = A x - 3A + B x + B . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x = (A + B)x + (-3A + B) :
1 = A + B
Vamos expandir e agrupar os termos:
0 = -3A + B
A + B = 1 -3A + B = 0
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com A + B - (-3A + B) = 1 - 0 A + B + 3A - B = 1 4A = 1 A = 14 :
14 + B = 1 B = 1 - 14 B = 34
Para os termos constantes:
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, e .

Passo 4

Com os valores de x(x+1)(x-3) = 14x+1 + 34x-3 e x(x+1)(x-3) = 14(x+1) + 34(x-3) encontrados, podemos reescrever a fração original:
integral x(x+1)(x-3) dx = 14 integral 1x+1 dx + 34 integral 1x-3 dx
Agora, vamos reescrever isso de forma mais simples:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 5

Sabemos que 14 integral 1x+1 dx = 14 ln|x+1| , onde 34 integral 1x-3 dx = 34 ln|x-3| é a constante de integração. Aplicando isso aos nossos termos:
integral x(x+1)(x-3) dx = 14 ln|x+1| + 34 ln|x-3| + C
Então, juntando tudo:

Resposta

integral x(x+1)(x-3) dx = 14 ln|x+1| + 34 ln|x-3| + C

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