Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais. O enunciado pede para calcular a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a decomposição em frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais (onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como a soma de duas frações, cada uma com um dos fatores do denominador:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Vamos expandir e agrupar os termos:
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Temos agora um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então,
e
.
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos reescrever isso de forma mais simples:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 5
Sabemos que
, onde
é a constante de integração. Aplicando isso aos nossos termos:
Então, juntando tudo: