Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
© f(x) = x^2 - 4x e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Isso envolve Cálculo Integral, especificamente encontrar a área entre duas curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde se iguala a . Ou seja, resolvemos a equação:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses são os limites de integração.

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre as curvas, integramos a função em relação a de 0 a 4. A integral dessa função nos dá a área desejada:
Á

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 4:
Á

Passo 5

Simplificando os cálculos:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Considere a função real g, dada por g(x) = x * sen(x).
© Indique uma expressão, em termos de integrais, que corresponda a área compreendida entre a curva g e o eixo dos x no intervalo de 0 a 2 pi.
Determine dd x f(x) das funções abaixo:
(b) f(x)=integral0^x(t^8+3) d t
Desenhe a região A e calcule a sua área.
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo O x e pelo gráfico de y = x.
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
© integral 3x^2+4 x d x