Considere a função real g, dada por g(x) = x * sen(x).
© Indique uma expressão, em termos de integrais, que corresponda a área compreendida entre a curva g e o eixo dos x no intervalo de 0 a 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função real e precisa encontrar uma expressão que represente a área entre essa curva e o eixo dos no intervalo de a . Para resolver isso, vamos usar integração, mais especificamente, a integração definida, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que a área entre a curva e o eixo dos pode ser positiva ou negativa, dependendo de onde a curva está acima ou abaixo do eixo. Para garantir que a área total seja sempre positiva, usamos o valor absoluto da função dentro da integral. Isso significa que sempre vamos considerar a “altura” da curva em relação ao eixo dos , independente se está acima ou abaixo.

Passo 3

Então, para calcular essa área, vamos montar uma integral definida que vai de a , e dentro dessa integral vamos colocar o valor absoluto de . A expressão geral para a área será:

Passo 4

Substituindo pela função dada, temos:
Essa é a expressão que representa a área entre a curva e o eixo dos no intervalo de a .

Resposta

A expressão que corresponde à área desejada é:

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