Determine dd x f(x) das funções abaixo:
(b) f(x)=integral0^x(t^8+3) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada de , onde . Estamos lidando com cálculo integral e diferencial, especificamente com o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral, como ddx ( integrala^x g(t) dt ) = g(x) , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente o integrando avaliado em . Em outras palavras:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos ddx f(x) = t^8 + 3 avaliado em t = x . Aqui, . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de em relação a será:

Passo 4

Então, substituindo ddx f(x) = x^8 + 3 por , a derivada fica:

Resposta

A derivada de é .

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