Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
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Passo 1
Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Para isso, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica que ajuda a simplificar frações racionais para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que nos permitam quebrar a fração original em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar tirando
em comum:
Então, a fração original fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como a soma de duas frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da igualdade por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Como o lado direito deve ser igual a 3, que é uma constante, os coeficientes de
devem ser zero:
Resolvendo a segunda equação para
:
Usando a primeira equação para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é: