Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
© integral 3x^2+4 x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos que calcular a integral indefinida de em relação a . Para isso, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica que ajuda a simplificar frações racionais para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e encontrar constantes que nos permitam quebrar a fração original em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 4x = x(x + 4) . Podemos fatorar tirando 3x^2 + 4x = 3x(x + 4) em comum:
Então, a fração original fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar 3x(x + 4) = Ax + Bx + 4 como a soma de duas frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 3 = A(x + 4) + Bx para eliminar os denominadores:
3 = Ax + 4A + Bx
Agora, vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
3 = (A + B)x + 4A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Como o lado direito deve ser igual a 3, que é uma constante, os coeficientes de A + B = 0 (coeficiente de x) devem ser zero:
4A = 3 (termo constante)
A = 34
Resolvendo a segunda equação para 34 + B = 0 implies B = -34 :
Usando a primeira equação para encontrar :

Passo 6

Agora que temos os valores de 3x(x + 4) = 34x + -34x + 4 e 3x(x + 4) = 34x - 34(x + 4) , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 3x^2 + 4x , dx = integral ( 34x - 34(x + 4) ) dx
= 34 integral 1x , dx - 34 integral 1x + 4 , dx
= 34 ln|x| - 34 ln|x + 4| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
integral 3x^2 + 4x , dx = 34 ln|x| - 34 ln|x + 4| + C

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