Desenhe a região
e calcule a sua área.
(a)
é o conjunto do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região
que é delimitada pelas retas
,
, pelo eixo
(que é o eixo dos
) e pela reta
. Além de desenhar, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as fronteiras da região
. Temos duas retas verticais:
e
. Também temos a reta
, que é uma linha diagonal passando pela origem com inclinação 45°. E por último, o eixo
, que é onde
.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessas retas para visualizar a região. A reta
cruza o eixo
na origem (0,0). As retas
e
são paralelas e cortam a reta
nos pontos
e
, respectivamente. A região
é, então, uma espécie de trapézio com a base inferior no eixo
entre
e
, e a base superior na reta
entre os mesmos valores de
.
Passo 4
Agora, para calcular a área dessa região, vamos pensar em integrais. A área entre duas curvas em um intervalo de
a
é dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores:
No nosso caso, a função superior é
e a função inferior é
(o eixo
). Os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 7
Vamos avaliar a integral de 1 a 3:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
© e
©
Considere a função real
, dada por
.
© Indique uma expressão, em termos de integrais, que corresponda a área compreendida entre a curva e o eixo dos
no intervalo de 0 a
.
© Indique uma expressão, em termos de integrais, que corresponda a área compreendida entre a curva
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
©
©
Sendo
, determine o valor de
.