Desenhe a região A e calcule a sua área.
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo O x e pelo gráfico de y = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas retas , , pelo eixo (que é o eixo dos ) e pela reta . Além de desenhar, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as fronteiras da região . Temos duas retas verticais: e . Também temos a reta , que é uma linha diagonal passando pela origem com inclinação 45°. E por último, o eixo , que é onde .

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessas retas para visualizar a região. A reta cruza o eixo na origem (0,0). As retas e são paralelas e cortam a reta nos pontos e , respectivamente. A região é, então, uma espécie de trapézio com a base inferior no eixo entre e , e a base superior na reta entre os mesmos valores de .

Passo 4

Agora, para calcular a área dessa região, vamos pensar em integrais. A área entre duas curvas em um intervalo de a é dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores:
Á
No nosso caso, a função superior é e a função inferior é (o eixo ). Os limites de integração são de a .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 7

Vamos avaliar a integral de 1 a 3:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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