Desenhe a região A e calcule a sua área.
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=1, x=3, pelo eixo O x e pelo gráfico de y = x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é delimitada pelas retas , , pelo eixo (que é o eixo dos ) e pela reta . Além de desenhar, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as fronteiras da região . Temos duas retas verticais: e . Também temos a reta , que é uma linha diagonal passando pela origem com inclinação 45°. E por último, o eixo , que é onde .

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessas retas para visualizar a região. A reta cruza o eixo na origem (0,0). As retas e são paralelas e cortam a reta nos pontos e , respectivamente. A região é, então, uma espécie de trapézio com a base inferior no eixo entre e , e a base superior na reta entre os mesmos valores de .

Passo 4

Agora, para calcular a área dessa região, vamos pensar em integrais. A área entre duas curvas em um intervalo de a é dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores:
Á
No nosso caso, a função superior é e a função inferior é (o eixo ). Os limites de integração são de a .

Passo 5

Vamos montar a integral:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 7

Vamos avaliar a integral de 1 a 3:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
© f(x) = x^2 - 4x e y = 0
Considere a função real g, dada por g(x) = x * sen(x).
© Indique uma expressão, em termos de integrais, que corresponda a área compreendida entre a curva g e o eixo dos x no intervalo de 0 a 2 pi.
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
© integral 3x^2+4 x d x
Sendo f(x) = sen(x) + 3, determine o valor de f(3 pi / 2).