Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(d) f(x)=-(x+2)(x-1) e y = 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões que estão limitadas pelas curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo, como encontrar pontos de interseção e integrar funções. Vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e, em seguida, calcular a integral definida entre esses pontos para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde cruza o eixo . Isso significa resolver :
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Resolvendo essas equações:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que temos os limites de integração, vamos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A área é dada por:
Para simplificar a integração, vamos primeiro expandir a expressão :
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos agora integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 5

Aplicamos agora os limites de integração de a :
Calculando para :
Calculando para :

Passo 6

Subtraindo os valores encontrados:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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