Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões que estão limitadas pelas curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, como encontrar pontos de interseção e integrar funções. Vamos precisar identificar onde essas duas curvas se encontram e, em seguida, calcular a integral definida entre esses pontos para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde
cruza o eixo
. Isso significa resolver
:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Resolvendo essas equações:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que temos os limites de integração, vamos configurar a integral para calcular a área entre as curvas. A área
é dada por:
Para simplificar a integração, vamos primeiro expandir a expressão
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos agora integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.
Passo 5
Aplicamos agora os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 6
Subtraindo os valores encontrados:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.
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(h)
(h)
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e
, quando
Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(a)
(a)
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