Usando o método de frações parciais, calcule as integrais indefinidas abaixo:
(a) integral 1x(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de usando o método de frações parciais. Isso significa que vamos dividir essa fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre frações parciais e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1x(x-2) = Ax + Bx-2 como a soma de duas frações mais simples. Assumimos que existe uma constante e uma constante tais que:

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(x-2) + Bx . Assim, temos:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(0-2) + B(0) Rightarrow 1 = -2A Rightarrow A = -12 e , vamos escolher valores de que vão simplificar a equação.
Primeiro, escolhemos :

Passo 5

Agora, escolhemos 1 = A(2-2) + B(2) Rightarrow 1 = 2B Rightarrow B = 12 :

Passo 6

Com os valores de 1x(x-2) = -12x + 12(x-2) e encontrados, podemos reescrever a fração inicial:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x(x-2) , dx = -12 integral 1x , dx + 12 integral 1x-2 , dx

Passo 8

Calculando as integrais:
-12 ln|x| + 12 ln|x-2| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

integral 1x(x-2) , dx = 12 ln|x-2| - 12 ln|x| + C

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