Resolva a equação do calor k partial^2 upartial x^2=partial upartial t(k>0 e 0 <= x <= L), quando
k=2, u(0, t)=u(L, t)=0, u(x, 0)=l1, se 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação do calor, que é uma equação matemática usada para descrever como o calor se distribui em um material ao longo do tempo. A equação que a gente vai resolver é:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
Aqui, u(x, 0) = 1, & se 0 < x < L2 0, & se L2 <= x < L é uma constante positiva, representa a temperatura no ponto e no tempo . Temos algumas condições pra resolver isso:
  • As temperaturas nas extremidades são sempre zero:
  • A condição inicial de temperatura é:
Pra resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. A gente vai precisar entender como essas técnicas funcionam pra decompor a solução em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis. Isso significa que a gente assume que a solução u(x, t) = X(x)T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de 2 partial^2 (X(x)T(t))partial x^2 = partial (X(x)T(t))partial t e outra que depende só de :
Substituindo isso na equação do calor:
Como depende só de e só de , a gente consegue separar as variáveis.

Passo 3

Depois de substituir, vamos dividir os dois lados da equação por 2 X''(x)X(x) = T'(t)T(t) :
2X''(x) + lambda X(x) = 0
Agora, cada lado da equação depende de uma única variável. Isso significa que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar essa constante de T'(t) + lambda T(t) = 0 . Assim, temos duas equações:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 4

Vamos resolver a equação para 2X''(x) + lambda X(x) = 0 Rightarrow X''(x) + lambda2 X(x) = 0 primeiro:
Xn(x) = sin(npi xL)
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções que dependem do sinal de :
  • Se , as soluções são senos e cossenos.
  • Mas como temos condições de contorno , a solução adequada será:
Onde é um número inteiro positivo, e .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para T'(t) + lambdan T(t) = 0 :
Tn(t) = e^-lambdan t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
un(x, t) = sin(npi xL) e^-2n^2pi^2L^2 t
Então, combinando com a solução de , a solução para cada modo é:

Passo 6

Como a equação é linear, a solução geral é a soma de todas as soluções individuais para cada modo u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-2n^2pi^2L^2 t . Então, temos:
Aqui, são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes u(x, 0) = 1, & 0 < x < L2 0, & L2 <= x < L , usamos a condição inicial 1 = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) para 0 < x < L2 :
Bn = 2L integral0^L u(x, 0) sin(npi xL) dx
Isso significa que:
Usamos a ortogonalidade das funções seno para calcular :

Passo 8

Calculando esse coeficiente para a nossa condição inicial:
Bn = 2L integral0^L2 1 cdot sin(npi xL) dx
Integrando:
Bn = 2L [ -Lnpi cos(npi xL) ]0^L2 = 2npi (1 - cos(npi2))

Passo 9

Finalmente, substituindo u(x, t) = sumn=1^infty 2npi (1 - cos(npi2)) sin(npi xL) e^-2n^2pi^2L^2 t na solução geral, temos a solução da equação do calor:

Resposta

A solução da equação do calor é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty 2npi (1 - cos(npi2)) sin(npi xL) e^-2n^2pi^2L^2 t

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