Resolva a equação do calor
e
, quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação do calor, que é uma equação matemática usada para descrever como o calor se distribui em um material ao longo do tempo. A equação que a gente vai resolver é:
Aqui,
é uma constante positiva,
representa a temperatura no ponto
e no tempo
. Temos algumas condições pra resolver isso:
-
- As temperaturas nas extremidades são sempre zero:
- A condição inicial de temperatura é:
Pra resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. A gente vai precisar entender como essas técnicas funcionam pra decompor a solução em termos mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis. Isso significa que a gente assume que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo isso na equação do calor:
Como
depende só de
e
só de
, a gente consegue separar as variáveis.
Passo 3
Depois de substituir, vamos dividir os dois lados da equação por
:
Agora, cada lado da equação depende de uma única variável. Isso significa que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar essa constante de
. Assim, temos duas equações:
- Para
: - Para
:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
primeiro:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções que dependem do sinal de
:
- Se
, as soluções são senos e cossenos. - Mas como temos condições de contorno
, a solução adequada será:
Onde
é um número inteiro positivo, e
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
Então, combinando com a solução de
, a solução para cada modo
é:
Passo 6
Como a equação é linear, a solução geral é a soma de todas as soluções individuais para cada modo
. Então, temos:
Aqui,
são os coeficientes de Fourier que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso significa que:
Usamos a ortogonalidade das funções seno para calcular
:
Passo 8
Calculando esse coeficiente para a nossa condição inicial:
Integrando:
Passo 9
Finalmente, substituindo
na solução geral, temos a solução da equação do calor:
Resposta
A solução da equação do calor é dada por:
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