Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
y partial^2 upartial x partial y+u=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial parcial
y partial^2 upartial x partial y + u = 0
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos tentar escrever a solução como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e o método que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como:
u(x, y) = X(x) Y(y)
Aqui, é uma função que depende apenas de e depende apenas de . Esse é o coração da separação de variáveis: separar as partes que dependem de cada variável.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Precisamos da derivada mista de segunda ordem:
partial^2 upartial x partial y = partialpartial x ( partial upartial y )
Primeiro, derivamos partial upartial y = X(x) dYdy em relação a partial^2 upartial x partial y = dXdx dYdy :
Depois, derivamos isso em relação a :

Passo 4

Substituindo a expressão da derivada mista na equação original, temos:
y ( dXdx dYdy ) + X(x) Y(y) = 0
Podemos reescrever isso como:
y dXdx dYdy + X Y = 0

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por y 1X dXdx 1Y dYdy + 1 = 0 para separar as variáveis:
y 1X dXdx 1Y dYdy = -1
Isso simplifica para:
Agora, os termos que dependem de estão todos junto e os que dependem de também.

Passo 6

Como o lado esquerdo da equação é um produto onde um fator depende só de y 1Y dYdy = -lambda e 1X dXdx = 1lambda e o outro só de , cada lado deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essa constante de :

Passo 7

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias. Vamos resolver a primeira para y dYdy = -lambda Y :
dYdy = -lambday Y
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver por separação de variáveis.

Passo 8

Integrando ambos os lados:
integral dYY = -lambda integral dyy
O que resulta em:
ln |Y| = -lambda ln |y| + C1
Exponentiando ambos os lados:
Y = C y^-lambda
Onde é uma constante.

Passo 9

Agora, vamos resolver para dXdx = 1lambda X :
X(x) = D e^xlambda
Essa é uma equação diferencial simples com solução:
Onde é outra constante.

Passo 10

Juntando u(x, y) = X(x) Y(y) = D e^xlambda y^-lambda e , a solução geral é:

Resposta

Uma solução particular da equação é
u(x, y) = D , e^xlambda , y^-lambda
onde e são constantes.

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k=3, u(0, t)=u(L, t)=0, u(x, 0)=sen(2 pi xL)
Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
partial upartial x=partial upartial y