Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial parcial
usando o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos tentar escrever a solução
como um produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais parciais e o método que vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e
depende apenas de
. Esse é o coração da separação de variáveis: separar as partes que dependem de cada variável.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Precisamos da derivada mista de segunda ordem:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos isso em relação a
:
Passo 4
Substituindo a expressão da derivada mista na equação original, temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Vamos dividir toda a equação por
para separar as variáveis:
Isso simplifica para:
Agora, os termos que dependem de
estão todos junto e os que dependem de
também.
Passo 6
Como o lado esquerdo da equação é um produto onde um fator depende só de
e o outro só de
, cada lado deve ser igual a uma constante negativa. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 7
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias. Vamos resolver a primeira para
:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver por separação de variáveis.
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O que resulta em:
Exponentiando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 9
Agora, vamos resolver para
:
Essa é uma equação diferencial simples com solução:
Onde
é outra constante.
Passo 10
Juntando
e
, a solução geral é:
Resposta
Uma solução particular da equação é
onde
e
são constantes.
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(a)
(a)
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(d) e
(d)
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e
, quando
Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações