Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(a) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos permite encontrar áreas sob curvas. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam e então calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso significa resolver a equação . Para fazer isso, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Agora, fatorando :
Então, as soluções são e . Esses são os pontos de interseção das duas curvas.

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , vamos descobrir qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de a .

Passo 4

Com essa informação, podemos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área é dada por:
Aqui, subtraímos a função de baixo ( ) da função de cima ( ) para obter a área entre elas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Agora, substituímos e :
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação
Considere a função
(a) Calcule