Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(a) e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos permite encontrar áreas sob curvas. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam e então calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso significa resolver a equação . Para fazer isso, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Agora, fatorando :
Então, as soluções são e . Esses são os pontos de interseção das duas curvas.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram em e , vamos descobrir qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de no intervalo de a .
Passo 4
Com essa informação, podemos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área é dada por:
Aqui, subtraímos a função de baixo () da função de cima () para obter a área entre elas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Agora, substituímos e :
Para :
Para :
Subtraindo os valores:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.