Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(a)
e
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos permite encontrar áreas sob curvas. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam e então calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram. Isso significa resolver a equação
. Para fazer isso, vamos trazer tudo para um lado da equação:
Agora, fatorando
:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos de interseção das duas curvas.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram em
e
, vamos descobrir qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
no intervalo de
a
.
Passo 4
Com essa informação, podemos montar a integral que representa a área entre as duas curvas. A área
é dada por:
Aqui, subtraímos a função de baixo (
) da função de cima (
) para obter a área entre elas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Agora, substituímos
e
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.