Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar as curvas características e uma forma canônica para a equação diferencial parcial dada:
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com equações diferenciais parciais de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender sobre as curvas características e como transformar a equação para uma forma canônica.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação geral de segunda ordem:
No nosso caso, a equação é:
Passo 3
Para determinar o tipo da equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica), usamos o discriminante:
Substituindo os valores:
Como , a equação é hiperbólica.
Passo 4
Para encontrar as curvas características de uma equação hiperbólica, resolvemos a equação associada às características:
Substituindo , e :
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos para :
Isso nos dá duas equações diferenciais:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação:
Separe as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Portanto, uma das curvas características é:
Passo 7
Agora, a segunda equação:
Novamente, separamos as variáveis:
Integrando:
Assim, a outra curva característica é:
Passo 8
Agora que temos as curvas características, vamos escrever a forma canônica da equação. Para isso, usamos as variáveis características que acabamos de encontrar.
Se chamarmos:
A equação original se transforma em uma equação em termos de e . Após substituições e simplificações, a forma canônica será:
Isso significa que, na forma canônica, a equação se simplifica significativamente, facilitando a resolução.
Resposta
As curvas características são dadas por e . A forma canônica da equação é , onde e .