Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação
(1+x^2)^2 partial^2 upartial x^2-(1+y^2)^2 partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar as curvas características e uma forma canônica para a equação diferencial parcial dada:
(1+x^2)^2 partial^2 upartial x^2 - (1+y^2)^2 partial^2 upartial y^2 = 0
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com equações diferenciais parciais de segunda ordem. Para resolver, precisamos entender sobre as curvas características e como transformar a equação para uma forma canônica.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação geral de segunda ordem:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem + termos constantes = 0
No nosso caso, a equação é:
A = (1+x^2)^2, B = 0, C = -(1+y^2)^2

Passo 3

Para determinar o tipo da equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica), usamos o discriminante:
De
Substituindo os valores:
De
Como , a equação é hiperbólica.

Passo 4

Para encontrar as curvas características de uma equação hiperbólica, resolvemos a equação associada às características:
A (dydx)^2 - 2B (dydx) + C = 0
Substituindo (1+x^2)^2 (dydx)^2 - 0 + (-(1+y^2)^2) = 0 , (1+x^2)^2 (dydx)^2 = (1+y^2)^2 e :
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos para dydx = pm (1+y^2)(1+x^2) :
dydx = 1+y^21+x^2 e dydx = -1+y^21+x^2
Isso nos dá duas equações diferenciais:

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação:
dydx = 1+y^21+x^2
Separe as variáveis:
dy1+y^2 = dx1+x^2
Integrando ambos os lados:
arctan(y) = arctan(x) + C
Onde arctan(y) - arctan(x) = C é a constante de integração. Portanto, uma das curvas características é:

Passo 7

Agora, a segunda equação:
dydx = -1+y^21+x^2
Novamente, separamos as variáveis:
dy1+y^2 = -dx1+x^2
Integrando:
arctan(y) = -arctan(x) + C
Assim, a outra curva característica é:
arctan(y) + arctan(x) = C

Passo 8

Agora que temos as curvas características, vamos escrever a forma canônica da equação. Para isso, usamos as variáveis características que acabamos de encontrar.
Se chamarmos:
xi = arctan(y) - arctan(x)
eta = arctan(y) + arctan(x)
A equação original se transforma em uma equação em termos de partial^2 upartial xi partial eta = 0 e . Após substituições e simplificações, a forma canônica será:
Isso significa que, na forma canônica, a equação se simplifica significativamente, facilitando a resolução.

Resposta

As curvas características são dadas por e . A forma canônica da equação é , onde e .

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