Calcule as integrais definidas
(1) integral-3^3|x^4-9| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais definidas e o funcionamento do valor absoluto dentro da integral. Para resolver, vamos precisar entender onde a expressão é positiva ou negativa, assim podemos remover o valor absoluto de forma correta e calcular a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde x^4 - 9 = 0 implies x^4 = 9 implies x = raiz[4]9 approx pm 1.732 é igual a zero, porque é aí que a função muda de positiva para negativa ou vice-versa. Então, resolvemos a equação:
Portanto, os pontos onde a função cruza o eixo x são aproximadamente e .

Passo 3

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos para ver o sinal de (-2)^4 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 (positiva) :
  1. Para 0^4 - 9 = -9 < 0 (negativa) : Vamos testar 2^4 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 (positiva) .
  2. Para : Vamos testar .
  3. Para : Vamos testar .

Passo 4

Com isso, sabemos que a função integral-3^3 |x^4 - 9| dx = integral-3^-1.732 (x^4 - 9) dx + integral-1.732^1.732 -(x^4 - 9) dx + integral1.732^3 (x^4 - 9) dx é positiva nos intervalos e , e negativa no intervalo . Isso significa que o valor absoluto vai inverter o sinal apenas no meio. Então, podemos reescrever a integral dividindo-a nesses intervalos:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, a integral de integral (x^4 - 9) dx = x^55 - 9x + C :
integral -(x^4 - 9) dx = -x^55 + 9x + C
E a integral de :

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. [ x^55 - 9x ]-3^-1.732 :
    [ -x^55 + 9x ]-1.732^1.732
  2. [ x^55 - 9x ]1.732^3 :
  3. :

Passo 7

Vamos substituir os limites de integração em cada parte:
  1. Para ( (-1.732)^55 - 9(-1.732) ) - ( (-3)^55 - 9(-3) ) :
    ( -(1.732)^55 + 9(1.732) ) - ( -(-1.732)^55 + 9(-1.732) )
  2. Para ( 3^55 - 9(3) ) - ( (1.732)^55 - 9(1.732) ) :
  3. Para :

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. -17.095 - 9(-1.732) approx -3.418 + 15.588 = 12.17
    -2435 - 9(-3) = -48.6 + 27 = -21.6
    -17.095 + 9(1.732) approx -3.418 + 15.588 = 12.17
    --17.095 + 9(-1.732) approx 3.418 - 15.588 = -12.17
    Então, 2435 - 9(3) = 48.6 - 27 = 21.6
  2. 17.095 - 9(1.732) approx 3.418 - 15.588 = -12.17
    Então,
  3. Então,

Resposta

Somando todas as partes:
33.77 + 24.34 + 33.77 approx 91.88
Portanto, o valor da integral definida é aproximadamente 91,88.

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