Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais definidas e o funcionamento do valor absoluto dentro da integral. Para resolver, vamos precisar entender onde a expressão é positiva ou negativa, assim podemos remover o valor absoluto de forma correta e calcular a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde x^4 - 9 = 0 implies x^4 = 9 implies x = raiz[4]9 approx pm 1.732 é igual a zero, porque é aí que a função muda de positiva para negativa ou vice-versa. Então, resolvemos a equação:
Portanto, os pontos onde a função cruza o eixo x são aproximadamente e .
Passo 3
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos para ver o sinal de (-2)^4 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 (positiva) :
Com isso, sabemos que a função integral-3^3 |x^4 - 9| dx = integral-3^-1.732 (x^4 - 9) dx + integral-1.732^1.732 -(x^4 - 9) dx + integral1.732^3 (x^4 - 9) dx é positiva nos intervalos e , e negativa no intervalo . Isso significa que o valor absoluto vai inverter o sinal apenas no meio. Então, podemos reescrever a integral dividindo-a nesses intervalos:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, a integral de integral (x^4 - 9) dx = x^55 - 9x + C :
integral -(x^4 - 9) dx = -x^55 + 9x + C
E a integral de :
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte:
[ x^55 - 9x ]-3^-1.732 :
[ -x^55 + 9x ]-1.732^1.732
[ x^55 - 9x ]1.732^3 :
:
Passo 7
Vamos substituir os limites de integração em cada parte: