Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e usar integrais para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
é o eixo Y. -
é o eixo X. -
é uma curva que vamos manipular para facilitar o cálculo.
Para visualizar melhor, imaginemos que a curva
intercepta os eixos em determinados pontos. Vamos encontrar esses pontos de interseção.
Passo 3
Vamos achar onde a curva
intercepta os eixos:
-
Interseção com o eixo X (
): Substituindona equação:
Então, o ponto de interseção é. -
Interseção com o eixo Y (
): Substituindona equação:
Então, o ponto de interseção é.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos visualizar a região que queremos calcular. Essa região está limitada pelos eixos X e Y e pela curva
, formando uma espécie de triângulo curvo.
Para calcular a área, vamos expressar
em função de
para facilitar a integração:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. A área sob a curva de
entre
e
será a área que buscamos.
A integral fica assim:
Passo 6
Vamos calcular cada termo da integral separadamente:
-
Integral de 4 dx:
-
Integral de
dx: Lembre que, então: -
Integral de x dx:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4 em cada parte:
-
Para 4x:
-
Para
:
Sabemos que, então: -
Para
:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das integrais:
Primeiro, somamos 16 e 8:
Então:
Para simplificar, escrevemos 24 como
:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades quadradas.
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