Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
raiz(x) + raiz(y) = 2, x = 0, y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , x = 0 e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e usar integrais para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • x = 0 é o eixo Y.
  • é o eixo X.
  • é uma curva que vamos manipular para facilitar o cálculo.
Para visualizar melhor, imaginemos que a curva intercepta os eixos em determinados pontos. Vamos encontrar esses pontos de interseção.

Passo 3

Vamos achar onde a curva intercepta os eixos:
  • Interseção com o eixo X ( ):
    Substituindo na equação:


    Então, o ponto de interseção é .
  • Interseção com o eixo Y ( x = 0):
    Substituindo x = 0 na equação:


    Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos visualizar a região que queremos calcular. Essa região está limitada pelos eixos X e Y e pela curva , formando uma espécie de triângulo curvo.
Para calcular a área, vamos expressar y em função de x para facilitar a integração:


Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área. A área sob a curva de entre x = 0 e será a área que buscamos.
A integral fica assim:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada termo da integral separadamente:
  1. Integral de 4 dx:
  2. Integral de dx:
    Lembre que , então:
  3. Integral de x dx:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4 em cada parte:
  1. Para 4x:
  2. Para :

    Sabemos que , então:
  3. Para :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:
Á
Primeiro, somamos 16 e 8:
Então:
Á
Para simplificar, escrevemos 24 como :
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é 8/3 unidades quadradas.

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