Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z = x^2 + y^2 + 1, z = 0, x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. As equações que limitam esse sólido são:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança para coordenadas polares. A ideia é transformar as equações para coordenadas polares e então montar a integral que vai nos dar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Vamos reescrever as equações dadas:
  1. vira
  2. continua
  3. vira ou

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando , sabemos que o raio varia de 0 a 2. O ângulo vai de 0 a para cobrir todo o círculo.
Além disso, o sólido está limitado entre (a base) e (o topo). Portanto, o volume será a integral da altura sobre a área do círculo.

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área é .
Então, a integral para o volume fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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