Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. As equações que limitam esse sólido são:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança para coordenadas polares. A ideia é transformar as equações para coordenadas polares e então montar a integral que vai nos dar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Vamos reescrever as equações dadas:
-
vira -
continua -
vira ou
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando
, sabemos que o raio varia de 0 a 2. O ângulo
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Além disso, o sólido está limitado entre
(a base) e
(o topo). Portanto, o volume será a integral da altura
sobre a área do círculo.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, o elemento de área
é
.
Então, a integral para o volume
fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
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Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
Encontre de modo que o volume dentro do hemisfério
fora do cilindro
seja a metade do volumedo hemisfério.
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