Calcule as seguintes integrais sabendo que é limitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde a região está limitada pelas curvas e . A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, para resolver isso. Precisamos identificar os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região . Temos duas equações:
– que é uma parábola que abre para a direita.
– que é uma parábola que abre para a esquerda.
Para encontrar os limites de integração, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam. Isso vai nos dar os valores de que delimitam a região.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Somando dos dois lados:
Dividindo por 3:
Então, . Esses são os limites de para nossa integração.
Passo 4
Agora que temos os valores de , vamos determinar os limites de para cada . Observando as equações:
A curva fornece o limite inferior para .
A curva fornece o limite superior para .
Então, para cada entre e , varia de a .
Passo 5
Vamos montar a integral dupla com os limites encontrados:
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a .