Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR(y^2-x) d x d y y^2=x, x=3-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR(y^2-x) , dx , dy, onde a região R está limitada pelas curvas y^2=x e x=3-2 y^2. A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas, para resolver isso. Precisamos identificar os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região R. Temos duas equações:
  1. y^2 = x – que é uma parábola que abre para a direita.
  2. x = 3 - 2 y^2 – que é uma parábola que abre para a esquerda.
Para encontrar os limites de integração, precisamos descobrir onde essas duas curvas se interceptam. Isso vai nos dar os valores de y que delimitam a região.

Passo 3

Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
y^2 = 3 - 2 y^2
Somando 2 y^2 dos dois lados:
3 y^2 = 3
Dividindo por 3:
y^2 = 1
Então, y = pm 1. Esses são os limites de y para nossa integração.

Passo 4

Agora que temos os valores de y, vamos determinar os limites de x para cada y. Observando as equações:
  • A curva y^2 = x fornece o limite inferior para x.
  • A curva x = 3 - 2 y^2 fornece o limite superior para x.
Então, para cada y entre -1 e 1, x varia de y^2 a 3 - 2 y^2.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla com os limites encontrados:
integral duplaR(y^2-x) , dx , dy = integral-1^1 integraly^2^3 - 2 y^2 (y^2-x) , dx , dy
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a x.

Passo 6

Calculando a integral interna:
integraly^2^3 - 2 y^2 (y^2-x) , dx
Integrando termo a termo:
integral (y^2-x) , dx = y^2x - 12x^2 + C
Agora, avaliamos entre os limites y^2 e 3 - 2 y^2:
[ y^2(3 - 2 y^2) - 12(3 - 2 y^2)^2 ] - [ y^2(y^2) - 12(y^2)^2 ]

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
y^2(3 - 2 y^2) = 3 y^2 - 2 y^4
Segundo termo:
12(3 - 2 y^2)^2 = 12(9 - 12 y^2 + 4 y^4) = 92 - 6 y^2 + 2 y^4
Terceiro termo:
y^2(y^2) = y^4
Quarto termo:
12(y^2)^2 = 12 y^4
Substituindo de volta:
[ 3 y^2 - 2 y^4 - ( 92 - 6 y^2 + 2 y^4 ) ] - [ y^4 - 12 y^4 ]
Simplificando:
3 y^2 - 2 y^4 - 92 + 6 y^2 - 2 y^4 - y^4 + 12 y^4
(3 y^2 + 6 y^2) + (-2 y^4 - 2 y^4 - y^4 + 12 y^4) - 92
9 y^2 - (4.5 y^4) - 92

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral-1^1 (9 y^2 - 92 y^4 - 92) dy
Vamos separar em partes:
9 integral-1^1 y^2 dy - 92 integral-1^1 y^4 dy - 92 integral-1^1 dy

Passo 9

Calculando cada integral:
  1. integral-1^1 y^2 dy = [ 13 y^3 ]-1^1 = 13(1 - (-1)) = 23
  2. integral-1^1 y^4 dy = [ 15 y^5 ]-1^1 = 15(1 - (-1)) = 25
  3. integral-1^1 dy = y gr|-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 10

Substituindo os resultados:
9 ( 23 ) - 92 ( 25 ) - 92 (2)
Simplificando:
6 - 95 - 9
6 - 9 - 95 = -3 - 95 = -155 - 95 = -245

Resposta

A integral dupla vale -dfrac245.

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