Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla
, onde a região
está limitada pelas curvas
e
. Isso envolve a matéria de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como configurar a integral com base nas curvas que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Ou seja, vamos resolver a equação
para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre
e
. Vamos escolher um valor de
no intervalo, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
. Portanto, para configurar a integral, vamos integrar
no
primeiro, de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, simplificamos:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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