Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR y d x d y y=2 x^2-2, y=x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla integral duplaR y , dx , dy, onde a região R está limitada pelas curvas y = 2x^2 - 2 e y = x^2 + x. Isso envolve a matéria de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como configurar a integral com base nas curvas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Ou seja, vamos resolver a equação 2x^2 - 2 = x^2 + x para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Vamos resolver a equação 2x^2 - 2 = x^2 + x:
2x^2 - 2 = x^2 + x 2x^2 - x^2 - x - 2 = 0 x^2 - x - 2 = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 - x - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -1, e c = -2:
x = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1 x = 1 pm raiz1 + 82 x = 1 pm 32
Então, temos duas soluções:
x = 1 + 32 = 2 e x = 1 - 32 = -1
Portanto, os pontos de interseção são x = -1 e x = 2.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre x = -1 e x = 2. Vamos escolher um valor de x no intervalo, por exemplo, x = 0:
y = 2(0)^2 - 2 = -2 y = (0)^2 + 0 = 0
Aqui, y = x^2 + x está acima de y = 2x^2 - 2. Portanto, para configurar a integral, vamos integrar y no x primeiro, de x = -1 a x = 2, e para cada x, y varia de 2x^2 - 2 até x^2 + x.
Então, a integral fica:
integral duplaR y , dx , dy = integralx=-1^2 integraly=2x^2-2^x^2+x y , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral2x^2-2^x^2+x y , dy = [ y^22 ]2x^2-2^x^2+x = (x^2+x)^22 - (2x^2-2)^22
Agora, simplificamos:
(x^4 + 2x^3 + x^2)2 - (4x^4 - 8x^2 + 4)2 = x^4 + 2x^3 + x^2 - 4x^4 + 8x^2 - 42 = -3x^4 + 2x^3 + 9x^2 - 42
Agora, integramos em relação a x:
integral-1^2 ( -3x^4 + 2x^3 + 9x^2 - 42 ) dx = 12 integral-1^2 (-3x^4 + 2x^3 + 9x^2 - 4) , dx
Calculando cada termo:
12 [ -3x^55 + 2x^44 + 9x^33 - 4x ]-1^2 = 12 [ -3(2)^55 + 2(2)^44 + 9(2)^33 - 4(2) - ( -3(-1)^55 + 2(-1)^44 + 9(-1)^33 - 4(-1) ) ]
Simplificando:
= 12 [ -965 + 324 + 723 - 8 - ( 35 + 24 - 3 + 4 ) ] = 12 [ -965 + 8 + 24 - 8 - ( 35 + 12 + 1 ) ] = 12 [ (-965 + 24) - (35 + 12 + 1) ] = 12 [ -965 + 1205 - 35 - 12 - 1 ] = 12 [ 245 - 35 - 12 - 1 ] = 12 [ 215 - 12 - 1 ] = 12 [ 215 - 32 ] = 12 [ 4210 - 1510 ] = 12 cdot 2710 = 2720

Resposta

O valor da integral dupla é 2720.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integraly^2^4 raizx sen x d x) d y
Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração: integral0^2(integralx^2 e^-y^2 d y) d x
Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR(y^2-x) d x d y y^2=x, x=3-2 y^2
Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
raiz(x) + raiz(y) = 2, x = 0, y = 0