Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , , e . Isso envolve geometria analítica e cálculo para integrar as funções e encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico:
: Essa é uma hipérbole que se abre para os quadrantes I e III.
: Uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
: O eixo x.
: Uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 9.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor as regiões que queremos calcular.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração:
Interseção de e :
Substituindo na hipérbole:
Então, .
Interseção de e :
Substituindo na hipérbole:
Não há solução real, então não há interseção nesse caso.
Interseção de e :
Substituindo na reta:
Interseção de e :
Substituindo na hipérbole:
Interseção de e :
Substituindo na reta:
Passo 4
Agora, identificamos que as regiões de interesse estão entre:
e : Entre a origem e o ponto de interseção da hipérbole com a reta.
e : Entre o ponto de interseção e a linha vertical .
Vamos calcular a área em cada uma dessas partes separadamente e depois somá-las.
Passo 5
Área de a :
Nessa região, a curva superior é e a curva inferior é .
A área é dada por:
Passo 6
Área de a :
Nessa região, a curva superior é (derivada de ) e a curva inferior é .
A área é:
Calculando cada integral separadamente:
Então,
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total :
Simplificando:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.