Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
x*y=9, y=x, y=0, x=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , , e . Isso envolve geometria analítica e cálculo para integrar as funções e encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico:
  • : Essa é uma hipérbole que se abre para os quadrantes I e III.
  • : Uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • : O eixo x.
  • : Uma linha vertical que corta o eixo x no ponto 9.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor as regiões que queremos calcular.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração:
  1. Interseção de e :
    Substituindo na hipérbole:
    Então, .
  2. Interseção de e :
    Substituindo na hipérbole:
    Não há solução real, então não há interseção nesse caso.
  3. Interseção de e :
    Substituindo na reta:
  4. Interseção de e :
    Substituindo na hipérbole:
  5. Interseção de e :
    Substituindo na reta:

Passo 4

Agora, identificamos que as regiões de interesse estão entre:
  • e : Entre a origem e o ponto de interseção da hipérbole com a reta.
  • e : Entre o ponto de interseção e a linha vertical .
Vamos calcular a área em cada uma dessas partes separadamente e depois somá-las.

Passo 5

Área de a :
Nessa região, a curva superior é e a curva inferior é .
A área é dada por:

Passo 6

Área de a :
Nessa região, a curva superior é (derivada de ) e a curva inferior é .
A área é:
Calculando cada integral separadamente:
Então,

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total :
Simplificando:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.

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