Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
Encontre a de modo que o volume dentro do hemisfério z = raiz(16 - x^2 - y^2) e fora do cilindro x^2 + y^2 = a^2 seja a metade do volumedo hemisfério.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hemisfério definido pela equação e um cilindro dado por . A tarefa é encontrar o valor de para que o volume da parte do hemisfério que está fora desse cilindro seja metade do volume total do hemisfério. Para resolver isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares, já que as formas envolvidas têm simetria circular, o que facilita os cálculos.

Passo 2

Vamos começar calculando o volume total do hemisfério. Em coordenadas polares, e , e a equação do hemisfério se torna . O volume do hemisfério pode ser calculado pela integral dupla:
é
Aqui, vai de 0 a 4 porque o raio do hemisfério é 4 (já que ), e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos simplificar a expressão. Primeiro, resolvemos a parte da integral em :
Fazendo a substituição , temos ou . A integral fica:
Integrando, obtemos:
Então, o volume total do hemisfério é:
é

Passo 4

Agora, queremos que o volume fora do cilindro seja metade desse volume total. Portanto, o volume desejado é:
Esse volume corresponde à integral dupla sobre a região onde varia de a 4:

Passo 5

Vamos resolver a integral do volume desejado da mesma forma que fizemos para o volume total. Usando a substituição , temos:
Multiplicando pela integral em :

Passo 6

Igualamos o volume desejado à metade do volume total do hemisfério:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Para resolver para , primeiro tiramos a raiz de potência :
Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

O valor de que torna o volume dentro do hemisfério e fora do cilindro igual à metade do volume total do hemisfério é aproximadamente 2,43.

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