Determine o centro de massa da lãmina plana R, no plano x y e densidade f(x, y).
R é limitado por x^2 + y^2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = x * y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o centro de massa de uma lãmina plana R no plano xy. A região R é delimitada pela equação x^2 + y^2 = 1 mas apenas no primeiro quadrante (onde x >= 0 e y ≥ 0). Além disso, a densidade da lãmina é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da lãmina. A massa M é dada pela integral dupla da densidade sobre a região R. Ou seja:

Passo 3

Depois de encontrar a massa, precisamos determinar as coordenadas do centro de massa, que são . Essas coordenadas são calculadas pelas seguintes fórmulas:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites das integrais. Como a região R está no primeiro quadrante e é parte do círculo x^2 + y^2 = 1, podemos expressar y em função de x:
Então, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 até . Assim, nossas integrais ficam:
Para a massa:
Para :
Para :

Passo 5

Vamos resolver as integrais começando pela massa M:
Integrando:
Agora, para :
Integrando:
E para :
Essa última integral é um pouco mais complexa, mas resolvendo, obtemos:

Resposta

Finalmente, as coordenadas do centro de massa são:
Então, o centro de massa da lãmina R está localizado no ponto aproximadamente no plano xy.

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