Determine o centro de massa da lãmina plana , no plano e densidade . é limitado por no primeiro quadrante e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o centro de massa de uma lãmina plana no plano . A região é delimitada pela equação mas apenas no primeiro quadrante (onde e ). Além disso, a densidade da lãmina é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas para calcular a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total da lãmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região . Ou seja:
Passo 3
Depois de encontrar a massa, precisamos determinar as coordenadas do centro de massa, que são . Essas coordenadas são calculadas pelas seguintes fórmulas:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites das integrais. Como a região R está no primeiro quadrante e é parte do círculo x^2 + y^2 = 1, podemos expressar y em função de x:
Então, x varia de 0 a 1, e para cada x, y varia de 0 até . Assim, nossas integrais ficam:
Para a massa:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver as integrais começando pela massa M:
Integrando:
Agora, para :
Integrando:
E para :
Essa última integral é um pouco mais complexa, mas resolvendo, obtemos:
Resposta
Finalmente, as coordenadas do centro de massa são:
Então, o centro de massa da lãmina R está localizado no ponto aproximadamente no plano xy.