Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas retas
,
e
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e calcular áreas de polígonos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde essas retas se cruzam. Isso nos ajudará a definir os vértices da região cuja área queremos calcular.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre
e
.
Resolva a primeira equação para :
Resolva a primeira equação para
Substitua
na segunda equação:
Então,
. O ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, encontre a interseção entre
e
.
Substitua na primeira equação:
Substitua
O ponto de interseção é
.
Passo 5
Por fim, encontre a interseção entre
e
.
Substitua na segunda equação:
Substitua
O ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção:
,
e
, podemos visualizar que a região formada é um triângulo.
Passo 7
Para calcular a área de um triângulo com vértices em
,
e
, usamos a fórmula:
Substituindo os pontos:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é 5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o centro de massa da lãmina plana
, no plano
e densidade
.
é limitado por
no primeiro quadrante e
.
Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
Encontre de modo que o volume dentro do hemisfério
fora do cilindro
seja a metade do volumedo hemisfério.
Encontre
Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(primeiro octante)
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas
com