Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z = x*y, x^2 + y^2 = 1 (primeiro octante)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelas equações e no primeiro octante. Isso envolve entender como transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o primeiro octante. No sistema de coordenadas tridimensionais, o primeiro octante é a região onde , e são todos positivos. Então, estamos trabalhando apenas com e .

Passo 3

Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Então, a equação da superfície vira .

Passo 4

A função também precisa ser expressa em coordenadas polares:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração para e . Como estamos no primeiro octante e vai do centro at�� a borda do círculo unitário:
E o ângulo no primeiro octante varia de a .

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Lembrando que em coordenadas polares o elemento de área é :

Passo 7

Vamos resolver a integral com respeito a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral com respeito a :
Podemos usar a substituição , então :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido limitado pelas equações dadas no primeiro octante é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
2x - 3y = 0, x + y = 5, y = 0
Determine o centro de massa da lãmina plana R, no plano x y e densidade f(x, y).
R é limitado por x^2 + y^2 = 1 no primeiro quadrante e f(x, y) = x * y.
Calcule as seguintes integrais sabendo que R é limitada pelas curvas dadas
integral duplaR x y d x d y x^2a^2+y^2b^2=1, x=0, y=0 com x >= 0, y >= 0
Calcule as derivdas abaixo: (t^{15})'