Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
(primeiro octante)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelas equações
e
no primeiro octante. Isso envolve entender como transformar a integral para coordenadas polares e determinar os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o primeiro octante. No sistema de coordenadas tridimensionais, o primeiro octante é a região onde
,
e
são todos positivos. Então, estamos trabalhando apenas com
e
.
Passo 3
Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Então, a equação da superfície
vira
.
Passo 4
A função
também precisa ser expressa em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração para
e
. Como estamos no primeiro octante e
vai do centro at�� a borda do círculo unitário:
E o ângulo
no primeiro octante varia de
a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume. Lembrando que em coordenadas polares o elemento de área é
:
Passo 7
Vamos resolver a integral com respeito a
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral com respeito a
:
Podemos usar a substituição
, então
:
Passo 9
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido limitado pelas equações dadas no primeiro octante é
unidades cúbicas.
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Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Determine o centro de massa da lãmina plana
, no plano
e densidade
.
é limitado por
no primeiro quadrante e
.
Calcule as seguintes integrais sabendo que
é limitada pelas curvas dadas
com
Calcule as derivdas abaixo: