Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente de integração e interseção de curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se cruzam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando
.
Então, igualando as duas equações:
Podemos reescrever assim:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos determinar qual das duas está “por cima” no intervalo entre 0 e 1. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Aqui,
(0,25) é maior que
(0,125), então
está por cima nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da diferença entre as duas funções de 0 a 1:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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