Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas
y = x^(3/2), y = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Isso envolve conceitos de cálculo, mais especificamente de integração e interseção de curvas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se cruzam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando .
Então, igualando as duas equações:
Podemos reescrever assim:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos determinar qual das duas está “por cima” no intervalo entre 0 e 1. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Aqui, (0,25) é maior que (0,125), então está por cima nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da diferença entre as duas funções de 0 a 1:
Á
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Á

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades quadradas.

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