Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. As equações que delimitam esse sólido são
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como configurar a integral para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As inequações
e
nos dizem que estamos trabalhando entre dois círculos: um de raio 2 (já que
) e outro de raio 4 (
). Então, nosso raio
varia de 2 a 4. Como não há restrição sobre o ângulo
, ele varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, então
. A outra equação é
, que permanece a mesma. Isso significa que o sólido está entre
e
.
Passo 4
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, a integral para o volume
é dada por:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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