Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z = raiz(x^2 + y^2), z = 0, x^2 + y^2 >= 4, x^2 + y^2 <= 16

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido usando uma integral dupla em coordenadas polares. As equações que delimitam esse sólido são , , e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares e entender como configurar a integral para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. As inequações e nos dizem que estamos trabalhando entre dois círculos: um de raio 2 (já que ) e outro de raio 4 ( ). Então, nosso raio varia de 2 a 4. Como não há restrição sobre o ângulo , ele varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos converter a função para coordenadas polares. Sabemos que , então . A outra equação é , que permanece a mesma. Isso significa que o sólido está entre e .

Passo 4

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. Em coordenadas polares, a integral para o volume é dada por:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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y = x^(3/2), y = x